Hendrik Süß
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Ich arbeite auf dem Gebiet der algebraischen Geometrie. Insbesondere interessiert mich hierbei die Anwendung kombinatorischer Methoden, um aktuelle Fragestellungen dieser Disziplin zu bearbeiten. Ich suche aber auch nach Anwendungen außerhalb der algebraischen Geometrie, zum Beispiel in der Codierungstheorie. Die wesentlichen Objekte meiner Arbeit sind T-Varietäten, Cox-Ringe und torische Vektorbündel. In letzer Zeit habe ich mich der Frage nach der Existenz von Kähler-Einstein-Metriken auf Fano-Varietäten zugewandt.

T-Varietäten

T-Varietäten sind algebraische Varitäten mit der Gruppenwirkung eines algebraischen Torus. Insbesondere sind sie birational äquivalent zum Produkt \(T \times Y\) eines Torus T und einer Varietät Y. Die Dimension von Y wird auch als Komplexität der Toruswirkung bezeichnet. Die T-Varietäten der Komplexität Null sind gerade die sogenannten torischen Varietäten. T-Varietäten können mittels polyedrischer Unterteilungen beschrieben werden, siehe [TVAR]. Es liegt eine Liste aller dreidimensionalen Fanovarietäten mit einer 2-Torus-Wirkung in dieser Beschreibung vor. Die folgenden Unterteilungen korrespondieren z.B. mit der dreidimensionalen Quadrik.

Literatur

[AKP12] Merging divisorial with colored fans (K. Altmann, V. Kiritchenko, L. Petersen), 2012.  
[TVAR] The geometry of T-Varieties (Klaus Altmann, Nathan Owen Ilten, Lars Petersen, Hendrik Süß, Robert Vollmert), In: Contributions to Algebraic Geometry -- a tribute to Oscar Zariski (Piotr Pragacz, ed.), 2012.   [journal] [Zitate]
[FZ03] Normal affine surfaces with C*-actions. (Hubert Flenner, Mikhail Zaidenberg), Osaka J. Math., volume 40, 2003.  
[TIM00] Cartier divisors and geometry of normal G-varieties. (Dmitrii A. Timashev), Transform. Groups, volume 5, 2000.   [journal]
[TIM97] Classification of G-varieties of complexity 1. (Dmitrii A. Timashev), Izv. Math., volume 61, 1997.   [journal]
[TEMB] Toroidal embeddings I (George Kempf, Finn Knudsen, David Mumford, Bernard Saint-Donat), Springer-Verlag, 1973.  
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Cox-Ringe

Für eine normale Varietät X mit endlich erzeugter Klassengruppe Cl(X) und \(\Gamma(X,\mathcal{O}_X^*)=k^*\) betrachtet man die mit einer (bis auf Isomorphie) kanonischen Multiplikation versehene Cl(X)-graduierte k-Algebra \[\mathcal{R}(X) = \bigoplus_{[D] \in \operatorname{Cl}(X)} \Gamma(X,\mathcal{O}(D)).\] Diese Algebra wird als Cox-Ring von X oder auch als totaler Koordinatenring bezeichnet.

Während projektive Koordinatenringe von der gewählten Einbettung abhängig sind, ist der Cox-Ring eine echte Invariante der Varietät. Das macht ihn ähnlich wie den (anti-)kanonischen Ring zu einem geeigneten Hilfsmittel zur Lösung von Klassifikationsproblemen. Dazu sollte der Cox-Ring der Varietät jedoch als k-Algebra endlich erzeugt sein. Varietäten mit endlich erzeugtem Cox-Ring werden auch als Mori-Dream-Spaces bezeichnet. Dazu zählen zum Beispiel torische Varietäten (allgemeiner: G-Varietäten der Komplexität < 2) sowie Fano-Varietäten. Mori-Dream-Space zu sein ist eine vergleichsweise restriktive Forderung an eine Varietät. Schon Standardkonstruktionen der algebraischen Geometrie, wie Aufblasung und projektivierte Vektorbündel erhalten diese Eigenschaft nicht [GHPS].

Mein Beitrag auf diesem Gebiet besteht in der Beschreibung der Cox-Ringe von T-Varietäten im Allgemeinen und torischen Vektorbündeln im Besonderen [HS10, GHPS].

Literatur

[GHPS] Cox rings and pseudoeffective cones of projectivized toric vector bundles (Jose Gonzalez, Milena Hering, Sam Payne, Hendrik Süß), Algebra & Number Theory, volume 6, 2012.   [journal]
[HS10] The Cox ring of an algebraic variety with torus action (Jürgen Hausen, Hendrik Süß), Advances in Mathematics, volume 225, 2010. ()   [journal]
[DT07] Universal torsors over Del Pezzo surfaces and rational points. (Ulrich Derenthal, Yuri Tschinkel), Granville, Andrew (ed.) et al., Equidistribution in number theory, an introduction. Proceedings of the NATO Advanced Study Institute on equidistribution in number theory, Montréal, Canada, July 11--22, 2005. Dordrecht: Springer. NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry 237, 169-196 (2007)., 2007.   [journal]
[CT06] Hilbert's 14th problem and Cox rings. (Ana-Maria Castravet, Jenia Tevelev), Compos. Math., volume 142, 2006.   [journal]
[BH03] Homogeneous coordinates for algebraic varieties. (Florian Berchtold, Jürgen Hausen), J. Algebra, volume 266, 2003.   [journal]
[HK00] Mori dream spaces and GIT. (Yi Hu, Sean Keel), Mich. Math. J., volume 48, 2000.   [journal]
[COX95] The homogeneous coordinate ring of a toric variety. (David Cox), J. Algebr. Geom., volume 4, 1995.  
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Kähler-Einstein-Metriken und K-Stabilität

Ein fundamentales Problem der Differentialgeometrie ist die Metrisierung von Mannigfaltigkeiten. Unter den vielen Möglichkeiten für die Wahl einer Metrik sucht man nach einer, die sich durch ihre Eigenschaften besonders auszeichnet oder gar kanonisch von der Geometrie vorgegeben ist. Ein Ansatz für eine solche kanonische Wahl sind Kähler-Einstein-Metriken, d.h. Kähler-Metriken $g$, die die Gleichungen $\text{Ric}(g) = \lambda g$ erfüllen. Eine solche Metrik ist dann eindeutig bestimmt -- falls sie denn existiert. Für den Fall negativer und trivialer Ricci-Krümmung wurde die Existenz und Eindeutigkeit von Calabi vermutet und schließlich von Aubin und Yau bewiesen. Für den Fano-Fall, d.h. für den Fall positiver Ricci-Krümmung, existieren jedoch einfache Gegenbeispiele. Entsprechend ist die Frage nach Kriterien für die Existenz einer solchen Metrik ein aktives Forschungsfeld. Bereits Yau vermutete, dass deren Existenz zu einem algebraischen Stabilitätsbegriff korrespondiert. Das wurde von Tian und Donaldson mit der Definition von K-Stabilität präzisiert. Mit dem Beweis der Yau-Tian-Donaldson-Vermutung durch Chen, Donaldson und Sun konnte diese Frage abschlie\ss end gekläart werden. Darüber hinaus eröffnete dieses Resultat die Möglichkeit die differential-geometrische Ausgangsfrage mittels algebraischer Geometrie zu studieren. Das ist auch weitherhin notwendig, da das Kriterium der K-Stabilität zwar algebraisch, aber nicht effektiv ist. Es verlangt das Studium aller Entartungen der Mannigfaltigkeit. Das ist aber bereits für $\mathbb P^2$ ein hartes Problem. Deshalb bleibt die Frage nach der Existenz einer Kähler-Einstein-Metrik im konkreten Fall schwierig. Äquivariante Formen von K-Stabilität können diese Schwierigkeiten in Spezialfällen überwinden [DS16, IS17, DEL16].

Literatur

[IS17] K-Stability for Fano Manifolds with Torus Action of Complexity 1 (Nathan Owen Ilten, Hendrik Süß), Duke Mathematical Journal, volume 166, 2017.   [journal] [Zitate]
[DEL16] K-Stability of Fano spherical varieties (T. Delcroix), ArXiv e-prints, 2016.  
[DS16] Kähler-Einstein metrics along the smooth continuity method. (Ved Datar, Gábor Székelyhidi), Geom. Funct. Anal., Springer (Birkhäuser), Basel, volume 26, 2016.   [journal]
[CDS15C] Kähler-Einstein metrics on Fano manifolds. III: Limits as cone angle approaches $2\pi$ and completion of the main proof. (Xiuxiong Chen, Simon Donaldson, Song Sun), J. Am. Math. Soc., volume 28, 2015.   [journal]
[CDS15B] Kähler-Einstein metrics on Fano manifolds. II: Limits with cone angle less than $2\pi$. (Xiuxiong Chen, Simon Donaldson, Song Sun), J. Am. Math. Soc., volume 28, 2015.   [journal]
[CDS15A] Kähler-Einstein metrics on Fano manifolds. I: Approximation of metrics with cone singularities. (Xiuxiong Chen, Simon Donaldson, Song Sun), J. Am. Math. Soc., volume 28, 2015.   [journal]
[DON02] Scalar curvature and stability of toric varieties. (Simon K. Donaldson), J. Differ. Geom., volume 62, 2002.  
[TIA97] Kähler-Einstein metrics with positive scalar curvature. (Gang Tian), Invent. Math., volume 130, 1997.   [journal]
[TIA87] On Kähler-Einstein metrics on certain Kähler manifolds with $C_1(M)>0$. (Gang Tian), Invent. Math., volume 89, 1987.   [journal]
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